주사위 두 개 합의 확률표, 왜 7이 가장 많이 나올까

2026년 10월 27일 · 제비 편집팀

주사위 하나를 던지면 1부터 6까지 어느 눈이든 똑같이 6분의 1의 확률로 나옵니다. 그런데 주사위 두 개를 던져 눈의 합을 보면 사정이 완전히 달라집니다. 합이 2나 12가 나오는 일은 드물고, 7은 유난히 자주 나옵니다. 부루마블 같은 보드게임을 오래 해 본 사람이라면 몸으로 알고 있는 사실이지만, 그 이유를 정확히 설명하기는 쉽지 않습니다. 주사위 두 개의 합에 숨은 확률을 차근차근 살펴보겠습니다.

서른여섯 가지 경우를 세어 보자

주사위 두 개를 구분하기 위해 하나는 빨간색, 하나는 파란색이라고 해 보겠습니다. 빨간 주사위가 1부터 6까지, 파란 주사위도 1부터 6까지 나올 수 있으므로 나올 수 있는 경우는 모두 6 곱하기 6, 서른여섯 가지입니다. 이 서른여섯 가지는 모두 똑같은 확률로 나옵니다. 이제 각 합이 몇 가지 경우에서 나오는지만 세면 됩니다.

합이 2가 되려면 두 주사위가 모두 1이어야 하므로 경우는 하나뿐입니다. 합이 3이 되는 경우는 빨강 1과 파랑 2, 빨강 2와 파랑 1의 두 가지입니다. 이렇게 세어 나가면 합이 7이 되는 경우는 1과 6, 2와 5, 3과 4, 4와 3, 5와 2, 6과 1의 여섯 가지로 가장 많습니다. 그 뒤로는 다시 하나씩 줄어들어 합이 12가 되는 경우는 6과 6 하나뿐입니다.

표를 보면 합의 확률이 7을 꼭짓점으로 양쪽이 똑같이 줄어드는 삼각형 모양이라는 것을 알 수 있습니다. 7이 나올 확률은 6분의 1로, 2나 12가 나올 확률의 여섯 배입니다.

3과 4를 헷갈리기 쉬운 이유

이 계산에서 가장 흔한 실수는 빨강 1과 파랑 2, 빨강 2와 파랑 1을 같은 경우로 세는 것입니다. 두 주사위가 똑같이 생겼으면 둘을 구분할 수 없으니 “1과 2” 라는 한 가지 경우로 보이기 쉽습니다. 하지만 주사위가 똑같이 생겼다고 해서 실제로 두 개가 하나가 되는 것은 아닙니다. 1과 2가 나오는 방법은 여전히 두 가지이고, 1과 1이 나오는 방법은 한 가지입니다. 그래서 눈이 서로 다른 조합은 같은 눈이 두 개 나오는 조합보다 두 배 잘 나옵니다. 17세기 유럽에서도 주사위 도박을 하던 사람들이 이 문제로 오랫동안 헷갈렸고, 갈릴레오가 주사위 세 개의 합을 같은 방식으로 세어 설명한 글이 남아 있을 정도로 오래된 질문입니다.

보드게임은 이 확률을 알고 만든다

주사위 두 개를 쓰는 보드게임은 대부분 이 확률을 염두에 두고 만들어졌습니다. 자원 카드를 모으는 보드게임 카탄에서는 숫자 타일마다 점을 찍어 나올 확률을 표시하는데, 6과 8에는 점이 다섯 개, 2와 12에는 점이 하나 찍혀 있습니다. 경우의 수를 그대로 점으로 옮겨 놓은 것입니다. 이 게임에서 7은 도둑이 움직이는 특별한 숫자로 정해져 있는데, 가장 자주 나오는 숫자에 큰 사건을 붙여 게임 흐름을 흔들도록 설계한 것입니다.

부루마블처럼 판을 도는 게임에서도 주사위 합의 분포가 영향을 줍니다. 출발점에서 일곱 칸 떨어진 칸은 한 번에 가장 자주 밟히는 칸이고, 두 칸이나 열두 칸 떨어진 칸은 한 번에 닿기 어렵습니다. 게임을 여러 번 해 보면 유난히 자주 걸리는 칸이 생기는 이유입니다.

주사위가 많아지면 가운데로 더 몰린다

주사위를 세 개, 네 개로 늘리면 합의 분포는 점점 더 가운데로 몰리고 모양도 삼각형에서 부드러운 종 모양으로 바뀝니다. 주사위 세 개의 합은 3부터 18까지 나올 수 있지만 10과 11이 각각 216가지 가운데 27가지로 가장 많고, 3과 18은 한 가지씩뿐입니다. 주사위 개수를 계속 늘리면 합의 분포는 통계에서 말하는 정규분포에 가까워집니다. 여러 개의 작은 무작위가 더해지면 결과가 가운데로 모인다는 이 성질은 키나 시험 점수처럼 우리 주변의 많은 값이 종 모양으로 퍼지는 이유와도 연결됩니다.

수업에서 직접 확인해 보기

이 내용은 중학교 확률 단원에서 직접 실험해 보기 좋은 주제입니다. 모둠마다 주사위 두 개를 50번씩 던져 합을 기록하게 하고, 반 전체 결과를 모아 막대그래프로 그리면 7을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 점점 또렷해지는 것을 볼 수 있습니다. 실제 주사위를 던질 시간이 부족하다면 주사위 굴리기에서 주사위 두 개를 골라 여러 번 굴려 보세요. 굴린 결과가 쌓이면서 합의 분포가 막대로 표시되어, 몇십 번만으로는 들쭉날쭉하던 모양이 수백 번을 넘기면 표의 확률과 비슷해지는 과정을 함께 볼 수 있습니다.

보드게임이나 TRPG처럼 4면체, 8면체, 20면체 주사위가 필요하다면 TRPG 주사위에서 2d6, 1d20 같은 표기 그대로 굴릴 수 있습니다. 우리 전통 놀이인 윷도 네 개의 윷가락이 만드는 확률 놀이인데, 도개걸윷모의 확률이 왜 서로 다른지는 윷 던지기에서 함께 살펴볼 수 있습니다.

평균은 7, 하지만 7만 나오는 것은 아니다

주사위 하나의 눈의 평균은 1부터 6까지 더한 21을 6으로 나눈 3.5입니다. 두 개를 던지면 평균 합은 그 두 배인 7이 됩니다. 이렇게 여러 번 반복했을 때 기대할 수 있는 평균값을 기댓값이라고 부릅니다. 기댓값이 7이라고 해서 7이 나올 확률이 높다는 뜻은 아니라는 점은 주의해야 합니다. 주사위 두 개에서는 우연히 평균과 가장 흔한 값이 모두 7로 같지만, 7이 나올 확률은 여전히 6분의 1이고 나머지 6분의 5는 다른 합이 나옵니다.

게임에서 이 차이를 이해하면 판단이 훨씬 정확해집니다. 예를 들어 앞으로 열 칸 떨어진 칸에 가야 한다면 한 번에 정확히 10이 나올 확률은 12분의 1, 약 8.3%밖에 되지 않습니다. 반대로 “10 이상” 이 나올 확률은 10, 11, 12의 경우를 더한 36분의 6, 즉 6분의 1입니다. 정확한 숫자 하나를 노리는 것과 범위를 노리는 것은 확률이 크게 다르다는 사실을 알고 있으면, 보드게임에서 어떤 칸에 집을 지을지, 어느 길로 갈지 고르는 데 도움이 됩니다.

같은 눈이 나올 확률

주사위 두 개가 같은 눈, 이른바 더블이 나올 확률은 1과 1부터 6과 6까지 여섯 가지 경우이므로 36분의 6, 즉 6분의 1입니다. 7이 나올 확률과 똑같습니다. 많은 보드게임이 더블에 한 번 더 던지는 혜택을 주는데, 생각보다 자주 나오기 때문에 세 번 연속 더블이면 벌칙을 주는 규칙을 함께 두기도 합니다. 세 번 연속 더블이 나올 확률은 6분의 1을 세 번 곱한 216분의 1로, 한 판에 수십 번씩 주사위를 던지는 게임이라면 가끔은 보게 되는 일입니다.

원하는 합이 나올 때까지 몇 번 굴려야 할까

보드게임을 하다 보면 “12만 나오면 이기는데” 하고 기다리는 순간이 있습니다. 원하는 합이 나올 때까지 평균 몇 번 굴려야 하는지는 그 합의 확률을 뒤집으면 바로 나옵니다. 확률이 6분의 1인 7은 평균 여섯 번에 한 번, 확률이 36분의 1인 2나 12는 평균 서른여섯 번에 한 번 나옵니다.

평균이 서른여섯 번이라고 서른여섯 번 안에 반드시 나온다는 뜻은 아닙니다. 12를 기다리며 서른여섯 번을 굴려도 한 번도 나오지 않을 확률이 약 36%나 됩니다. 반대로 7은 열 번 굴리는 동안 한 번이라도 나올 확률이 약 84%입니다. 평균은 아주 많이 반복했을 때의 이야기일 뿐, 한 판 한 판의 결과는 운에 따라 크게 흔들립니다.

진짜 주사위는 얼마나 공정할까

우리가 흔히 쓰는 주사위는 모서리가 둥글고, 눈이 움푹 파여 있습니다. 눈이 파인 만큼 무게가 빠지기 때문에, 이론적으로는 눈이 많은 면이 조금 더 가볍고 그 반대쪽 면이 아래로 갈 가능성이 아주 조금 높아집니다. 1의 반대편은 6이므로 6이 위로 나올 확률이 아주 조금 더 높다는 이야기가 여기서 나옵니다. 다만 그 차이는 아주 작아서, 집에서 하는 보드게임에서는 사실상 무시해도 되는 수준입니다.

카지노에서 쓰는 주사위는 다릅니다. 모서리가 날카롭게 각진 투명한 주사위를 쓰고, 눈은 파낸 자리를 같은 무게의 재료로 다시 채워 모든 면의 무게를 맞춥니다. 투명하게 만드는 이유도 속에 무게추를 넣는 속임수를 막기 위해서입니다. 반대로 한쪽에 무게를 몰래 넣은 주사위는 오래전부터 속임수 도구로 쓰여 왔고, 고대 유적에서 발견된 주사위 가운데 일부는 일부러 치우치게 만든 것이 아닌지 연구되기도 했습니다. 화면 속 주사위는 이런 물리적인 치우침이 없어서, 모든 눈이 정확히 같은 확률로 나옵니다.

주사위 두 개로 하는 간단한 놀이

두 주사위의 합이 고르게 나오지 않는다는 성질을 이용한 놀이도 많습니다. 2부터 12까지 숫자 가운데 하나를 각자 고르고, 주사위를 굴려 먼저 자기 숫자가 열 번 나오면 이기는 경주 놀이를 해 보면, 7을 고른 사람이 거의 언제나 앞서 나갑니다. 아이들에게 처음에는 아무 숫자나 고르게 하고, 몇 판을 한 뒤 왜 7이 강한지 함께 이야기해 보면 확률을 몸으로 느끼게 하는 좋은 수업이 됩니다. 1을 고르는 아이가 있다면 더 재미있는 대화가 시작됩니다. 두 주사위의 합으로는 1이 절대 나올 수 없기 때문입니다.

정리하면

주사위 두 개의 합은 서른여섯 가지 경우 가운데 몇 가지에서 나오는지로 확률이 정해집니다. 7은 여섯 가지 경우에서 나와 6분의 1로 가장 흔하고, 2와 12는 한 가지씩이라 36분의 1로 가장 드뭅니다. 똑같이 생긴 주사위라도 1과 2, 2와 1은 서로 다른 경우라는 점만 기억하면 표를 직접 만들 수 있습니다. 보드게임에서 7이 특별하게 대접받는 데에는 이렇게 분명한 이유가 있습니다.

자주 묻는 질문

두 주사위의 합 가운데 7이 가장 잘 나오는 이유는 무엇인가요?

7은 1과 6, 2와 5, 3과 4처럼 만드는 조합이 여섯 가지로 가장 많기 때문입니다. 36가지 경우 가운데 6가지라 확률이 6분의 1입니다.

같은 눈이 두 개 나올 확률은 얼마인가요?

1·1부터 6·6까지 여섯 가지이므로 36분의 6, 즉 6분의 1입니다.

세 개를 굴리면 가장 잘 나오는 합은 무엇인가요?

10과 11이 각각 27가지로 가장 많아, 216가지 가운데 27가지인 12.5%의 확률로 나옵니다.

제비의 주사위는 몇 개까지 굴릴 수 있나요?

여러 개를 한 번에 굴리고 합계와 결과 기록을 함께 볼 수 있습니다. TRPG에서 쓰는 4면, 8면, 12면, 20면 주사위는 TRPG 주사위 도구에서 굴릴 수 있습니다.